将原始问题(1)稍加变形
w,b,ξmin21∣∣w∣∣2+Ci=1∑Nξis.t.1−ξi−yi(w⋅xi+b)≤0−ξi≤0,i=1,2,⋯,N3
写出拉格朗日函数
L(w,b,ξ,a,μ)=21∣∣w∣∣2+Ci=1∑Nξi+i=1∑Nai(1−ξi−yi(w⋅xi+b))−i=1∑Nμiξi4
L(w,b,ξ,a,μ)分别对w,b,ξi求偏导,并令导数为0
∇wL(w,b,ξ,a,μ)=w−i=1∑Naiyixi=0∇bL(w,b,ξ,a,μ)=−i=1∑Naiyi=0∇ξiL(w,b,ξ,a,μ)=C−ai−μi=05
将等式(5)代入公式(4)得到对偶函数:
L(w,b,ξ,a,μ)=21∣∣w∣∣2+Ci=1∑Nξi+i=1∑Nai(1−ξi−yi(w⋅xi+b))−i=1∑Nμiξi=21(w⋅w)+i=1∑N(C−ai−μi)ξi+i=1∑Nai−w⋅w−bi=1∑Naiyi=−21(w⋅w)+i=1∑Nai=21i=1∑Nj=1∑Naiajyiyj(xi⋅xj)−i=1∑Nai6
公式(6)为对偶函数
公式(5)能得出以下限制条件:
i=1∑Naiyi=00≤ai≤C,i=1,2,⋯,N7
公式(6)结合公式(7)就是原始问题的对偶问题