1. 原始问题转换为对偶最优化问题
原始问题为:
minw,b21∣∣w∣∣2s.t.yi(w⋅xi+b)−1≥0,i=1,2,⋯,N1
对偶最优化问题为:
amin21i=1∑Nj=1∑Naiajyiyj(xi⋅xj)−i=1∑nais.t.i=1∑Naiyi=0ai≥0,i=1,2,⋯,N2
1.1. 公式(1)到公式(2)的推导过程
定义拉格朗日函数
L(w,b,a)=21∣∣w∣∣2−i=1∑Nai(yi(w⋅xi+b)−1)=21∣∣w∣∣2−i=1∑Naiyi(w⋅xi)−bi=1∑Naiyi+i=1∑Nai3
L(w, b, a)分别对w,b求偏导,并令偏导为0
∇wL(w,b,a)=w−i=1∑Naiyixi=0∇bL(w,b,a)=i=1∑Naiyi=04
公式(4)解得以下等式:
w=i=1∑Naiyixii=1∑Naiyi=05
公式(5)代入公式(3)得:
L(w,b,a)=21∣∣w∣∣2−i=1∑Naiyi(w⋅xi)−bi=1∑Naiyi+i=1∑Nai=21(w⋅w)−(w⋅w)+i=1∑Nai=−21(w⋅w)+i=1∑Nai=−21i=1∑Nj=1∑Naiajyiyj(xi⋅xj)+i=1∑Nai6
【?】把公式(5)代入公式(3)展开推导的方式没有推出来
公式(6)就是原始问题的对偶函数Ψ(w,b,a)。
根据对偶问题的求解步骤,此时要求对偶函数Ψ(w,b,a)。
将最大化问题转化为最小化问题,得到公式(2)