1. 决策树的模型

1.1. 特征的选择

决定用哪个特征来划分特征空间。
通过信息增益选取对训练数据具有分类能力的特征。

信息增益g(D,A)定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差,即
g(D,A)=H(D)H(DA) g(D, A) = H(D) - H(D|A)

信息熵增益准则的特征选择方法:对训练数据集(或子集)D,计算其每个特征的信息增益,并比较它们的大小,选择信息增益最大的特征。

1.2. 决策树的生成

生成最优决策树是NP完全问题。
因此使用启发式方法,生成次最优决策树。
即递归选择最优特征。

1.3. 决策树的修剪

生成的决策树容易发生过拟合,需要修剪。
决策树的生成是寻找局部最优的决策树。
决策树的修剪则是寻找全局最优的决策树。

决策树的剪枝往往通过极小化决策树整体的损失函数来实现
定义:
T:修剪前的决策树
|T|:T的叶子结点树
t:T的某个叶结点
NtN_t:叶结点t的样本数
NtkN_{tk}:叶结点t的样本中标签为k的样本树
Ht(T)H_t(T):叶结点t上的经验熵
a:参数,a0a \ge 0 损失函数:
Ca(T)=C(T)+aT1C(T)=TNtHt(T)2pk=NtkNt3Ht(T)=Kpklogpk4 \begin{aligned} C_a(T) = C(T) + a|T| && {1} C(T) = \sum^{|T|}N_tH_t(T) && {2} p_k = \frac{N_{tk}}{N_t} && {3} H_t(T) = -\sum^Kp_k\log p_k && {4} \end{aligned} 说明:
公式(1)中的第1项为模型对训练数据预测误差,代表模型的模拟度
公式(1)代表模型的复杂度
公式(1)中的a代表平衡模型拟合度和复杂度之间的关系

损失函数极小化 = 正则化的极大似然估计

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