1. 三角形式的傅利叶级数

周期为T、角频率为$\omega = \frac{2\pi}{T}$的周期信号x(t)，如果满足狄里赫利条件(Dirichlet condition)，则可以表达成为傅利叶级数。

狄里赫利条件(Dirichlet condition):

1. 任意一个周期内，有限个间断点
2. 任意一个周期内，有限的极大值和极小值
3. 任意一个周期内，绝对值可积

傅利叶级数：
$\begin{aligned} x(t) &=& a_0 + \sum_{n=1}^\infty \{a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\} && (1)\\ a_0 &=& \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)dt \\ a_n &=& \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)\cos(n\omega t)dt && n \ge 1 \\ b_n &=& \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)\sin(n\omega t)dt && n \ge 1 \end{aligned}$

其中$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}$是指一个周期内的积分，也可以表示为$\int_{t_0}^{t_0+T}$

三角函数公式

1.1. 维度与频率

1.1.1. 维度的理解

傅利叶级数中的每一个频率成分都是一个维度。
傅利叶展开得到的是无穷维的内积空间。
同一个频度的正弦项和余弦项是正交的。
不同的频率的正弦项是正交的。
不同的频率的余弦项是正交的。

1.1.2. 频率的理解

对于普通的周期信号，周期为T，关于这种信号的频率有两种理解：

1. 频率是周期的倒数，因此频率为$\frac{1}{T}$
2. 周期信号包含许多不同的频率的正弦信号，每个正弦成分的频率是$\frac{1}{T}$的整数倍。

1.2. 频率不变性

问：为什么用傅利叶级数表达周期信号？
答：因为三角函数作为线性系统的输入时，具有频率不变性。

例如某输入信号为$x(t) = \cos (\omega t)$，经过某线性系统后，会得到输出信号$y(t) = A \cos(\omega t - \theta)$
对比输入信号和输出信号：
频率不变 --- 频率不变性
幅度改变 --- 幅频特性
相位改变 --- 相频特性
幅频特性和相频特性统称为频率特性。

2. 复指数形式的傅利叶级数

欧拉公式代入公式（1）得：
$x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty[\frac{a_n-jb_n}{2}\exp(jn\omega t) + \frac{a_n + jb_n}{2}\exp(-jn\omega t)]$

定义：
$c_0 = a_0$：第一项
$c_n = \frac{a_n-jb_n}{2}$：第二项中的第一项的系数
$c_{-n} = \frac{a_n+jb_n}{2}$：第二项中的第二项的系数
则：
$\begin{aligned} x(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} C_n \exp(jn\omega t) && (2) \end{aligned}$

说明：

1. 公式（2）称为复指数形式的傅利叶级数
2. [?]x(t)是很不同频率的复指数函数叠加的结果？
3. $C_n$和$C_{-n}$是共轭复数的关系
4. 负频率只是一种数学结果，没有实际的物理意义

3. 傅里叶变换

还没看

4. 遗留问题

1. P58，最后一句没看懂？将信号延拓使之周期化？
2. P58，关于y(t)的公式是要说明什么？这不是第三章已经证明的内容吗？
3. P59，公式2说明x(t)是很不同频率的复指数函数叠加的结果？