1. 连续系统 VS 离散系统

连续系统以“连续时间t”为自变量：y(t)=H{x(t)}y(t) = H\{x(t)\}
离散系统以“整数n”为自变量：y[n]=H{x[n]}y[n] = H\{x[n]\}
连续系统和离散系统是从自变量的角度去区别的。
其中：
x[n]x[n]代表离散信号第n个点的值，x(t)x(t)代表模拟信号在t时刻的值
x[n]=x(nΔt)x[n] = x(n\Delta t)
n可以为正数、负数或0，但必须是整数。
当n取小数时，x[n]没有意义。当t取小数时，x(t)的意义。

2. 模拟系统 VS 数字系统

模拟系统和数字系统是从因变量的取值上去区别的。

连续&模拟 系统 ---（采样）---> 离散&模拟 系统 ---（A/D）---> 离散&数字系统

3. 线性系统 & 时/移不变系统

  • 连续 & 线性 系统

叠加性：两个信号的和的输出 = 两个信号的输出的和
H{x1(t)+x2(t)}=H{x1(t)}+H{x2(t)} \begin{aligned} H\{x_1(t) + x_2(t)\} = H\{x_1(t)\} + H\{x_2(t)\} \end{aligned}

数乘性：如果输入信号放大a倍，则输出信号也放大a倍
H{α⋅x(t)}=α⋅H{x(t)} H\{\alpha \cdot x(t)\} = \alpha \cdot H\{x(t)\}

  • 离散 & 线性 系统

叠加性：两个信号的和的输出 = 两个信号的输出的和
H{x1(n)+x2(n)}=H{x1(n)]+H{x2(n)} \begin{aligned} H\{x_1(n) + x_2(n)\} = H\{x_1(n)] + H\{x_2(n)\} \end{aligned}

数乘性：如果输入信号放大a倍，则输出信号也放大a倍
H{α⋅x(n)}=α⋅H{x(n)} H\{\alpha \cdot x(n)\} = \alpha \cdot H\{x(n)\}

  • 连续 & 时不变 系统

如果输入信号延迟了一段时间τ\tau，那么输出信号也延迟相同的时间。
y(t−τ)=H{x(t−τ)} y(t-\tau) = H\{x(t - \tau)\}

  • 离散 & 移不变 系统

如果输入信号的序号移动m个点，那么输出信号的序号也移动同样的点。
y[n+m]=H{x(n+m)} y[n+m] = H\{x(n+m)\}

4. “离散&线性”系统对激励的响应

这一节不是太懂，下面我的理解不一定对

4.1. 定义

  • 离散冲激序列：
    δ[n]={1,n=00,n≠0 \delta[n] = \begin{cases} 1, n = 0 \\ 0, n \neq 0 \end{cases}

  • 离散输入信号x[n]x[n]与脉冲强度序列χ\chi、离散冲激序列δ\delta之间的关系
    Note，书上离散输入信号和脉冲强度序列用的是同一个符号x，但我觉得是不同的概念，混在一起让人费解
    x[n]=∑k=−∞∞χ[k]δ[n−k] x[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty \chi[k]\delta[n-k]

  • 冲激响应函数
    h[n]=H{δ[n]} h[n] = H\{\delta[n]\}

4.2. 根据x[n]计算y[n]

y[n]=H{x[n]}离散系统的定义=H{∑k=−∞∞χ[k]δ[n−k]}上文中的定义=∑k=−∞∞χ[k]H{δ[n−k]}线性系统的特性=∑k=−∞∞χ[k]h[n−k]冲激响应函数的特性和移不变系统的特性=y[n]=χ[n]∗h[n] \begin{aligned} y[n] &=& H\{x[n]\} && \text{离散系统的定义} \\ &=& H\{\sum_{k=-\infty}^\infty \chi[k]\delta[n-k]\} && \text{上文中的定义} \\ &=& \sum_{k=-\infty}^\infty \chi[k]H\{\delta[n-k]\} && \text{线性系统的特性} \\ &=& \sum_{k=-\infty}^\infty \chi[k]h[n-k] && \text{冲激响应函数的特性和移不变系统的特性} \\ &=& y[n] = \chi[n] * h[n] \end{aligned}

最后得到的结果是离散卷积公式
y[n]=χ[n]∗h[n] y[n] = \chi[n] * h[n]

其中，χ[n]\chi[n]脉冲强度，h[n]是系统的冲激响应，反应了系统的特性。

4.3. 因果系统

如果没有信号输入，系统就没有输出
n时刻系统的输出信号与该时刻之后的输入信号无关。
y[n]=∑k=−∞nχ[k]h[n−k] y[n] = \sum_{k=-\infty}^n \chi[k] h[n-k]

5. “连续&线性”系统对激励的响应

5.1. 定义

  • 冲激函数、狄拉克函数、奇异函数

{∫−∞∞δ(t)dt=1δ(t)=0,t≠0 \begin{cases} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1 \\ \delta(t) = 0, t \neq 0 \end{cases}

目的：模拟实际系统中持续时间极短、取值极大的信号

  • x(t)是通过\delta(t)对χ(t)\chi(t)的抽样
    x(t0)=∫−∞∞χ(τ)δ(t−τ)dτ x(t_0) = \int_{-\infty}^{\infty} \chi(\tau)\delta(t-\tau)d\tau

  • 冲激响应函数
    h(t)=H{δ(t)} h(t) = H\{\delta(t)\}

5.2. 根据x(t)计算y(t)

y(t)=H{x(t)}=H{∫−∞∞χ(τ)δ(t−τ)dτ}=∫−∞∞χ(τ)H{δ(t−τ)}dτ=∫−∞∞χ(τ)h(t−τ)dτ=χ(t)∗h(t) \begin{aligned} y(t) &=& H\{x(t)\} \\ &=& H\{\int_{-\infty}^{\infty} \chi(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\} \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}\chi(\tau) H\{\delta(t-\tau)\}d\tau \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}\chi(\tau)h(t-\tau)d\tau \\ &=& \chi(t) * h(t) \end{aligned}

5.3. 因果系统

y(t)=∫∞tχ(τ)h(t−τ)dτ y(t) = \int_{\infty}^t \chi(\tau) h(t-\tau)d\tau

6. 卷积的性质

交换率、分配率、结合率

7. 遗留问题

  1. P35，最后一个公式，等式两个的x是同一个概念吗？
    答：是同一个概念，只是x的两种写法，这个公式不是一个卷积公式，y[n]那个才是卷积公式
  2. P36，什么是冲激响应的反折？
    答：例如[1234]∗[12]=[81074][1 2 3 4] * [1 2] = [8 10 7 4]，先把[1 2 3 4]反过来，再依次取2项与[1 2]做点乘。因此称为反折。
    这里的卷积运算与CNN里的卷积运算不同。CNN里的卷积运算没有反折这一步。link
  3. P37，因果系统的概念和公式是怎么扯上关系的？
    答：还是没懂
  4. P38，图3.5没看懂？
    答：一个输入点，经过一次冲激后变成了多个点，这是记忆效应。记忆效应与线性不矛盾。
  5. P42，非线性系统不适合用卷积？

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